1. Kurze Einführung
zur Spieltheorie
1.1 Kategorien
nach denen Spiele eingeteilt werden
1.2 Definition des
Begriffs ‘Strategie’
2. Theorie der
Zweipersonen Nullsummenspiele
2.1 Klärung des Begriffs
2.2 Unterscheidung
1.Kurze Einführung zur Spieltheorie
Früher waren Spiele nichts mehr als eine Freizeitbeschäftigung.
Doch die Wissenschaft hat erkannt, daß sich mit Hilfe der theoretischen
Grundlagen von Spielen Konfliktsituationen und Probleme im Alltag lösen
lassen.
Den Zusammenhang zwischen Spielen und ökonomischen Problemen wurde
erstmals 1943 durch von Neumann und Morgenstern dargestellt. Die Spieltheorie
findet immer dort eine Anwendung, wo die verschiedenen, zum Teil entgegengesetzten,
Interessen mehrerer Parteien aufeinandertreffen.
Definition: Ein Spiel ist ein mathematisches Modell für eine Konfliktsituation.
1.1 Kategorien nach denen Spiele eingeteilt werden
Es gibt eine Vielzahl verschiedener Arten von Spielen. Für jede
Art existieren Methoden, um das günstigste Verhalten eines Spielers
im Spielablauf zu ermitteln. Zur schnellen und exakten Bestimmung dieser
Methoden ist eine Einteilung der Spiele wichtig. Der Vorteil, Spiele in
Kategorien einzuordnen, ist also der, daß man Folgerungen ziehen
kann, die allgemein anwendbar sind.
Die Spiele werden nach folgenden Kriterien eingeteilt :
1.2 Definition des Begriffs ‘Strategie’
Im herkömmlichen Sprachgebrauch wird eine Möglichkeit ein
Spiel nach einem bestimmten Vehalten oder in eine gewisse Richtung zu bestreiten
als Strategie bezeichnet. Innerhalb der Spieltheorie muß die Strategie
zu jedem Zeitpunkt im Spiel den nächsten Schritt bzw. Zug aufzeigen
können.
Die Darstellung aller möglichen Züge vom Anfang bis zum Ende
des Spiels, läßt sich eindeutig durch einen Baum beschreiben.
Durch jeden verschiedenen Weg von der Wurzel, über die einzelnen Knoten,
zu einem Endkontenpunkt hin, wird ein anderer Spielausgang beschrieben.
Durch einen dieser Spielzüge, sind die Strategien der Spieler (für
eine Partie) genau beschrieben.
Je nach dem, wie viele Verzweigungen von einem Knoten ausgehen, so
viele verschiedene Züge hat der Spieler zu diesem Zeitpunkt zu Verfügung.
Definition:
Eine Strategie ist ein (vollständiger Verhaltens -) Plan, der
für jede mögliche Position (Verzweigung des Baumes ) eine Fortsetzung
vorsieht.
Die im allgemeinen sehr große Anzahl von Strategien ergibt
sich aus der Vielzahl vorhergehender Züge, auf die reagiert werden
muß.
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2.Theorie der Zweipersonen Nullsummenspiele
Wie der Name schon sagt, gibt es zwei Spieler. Spiele, in denen die Interessen der Spieler entgegengesetzt sind, werden als Nullsummenspiele bezeichnet. Der Ausdruck Nullsumme beschreibt, daß im gesamten Spiel nichts dazukommt und nichts verloren geht. Will man gewinnen, muß man von einem anderen Mitspieler gewinnen. Die Summe der Gewinne ist immer null (ein Verlust ist ein negativer Gewinn).
Wie schon bekannt, besitzt jeder Spieler verschiedene, anwendbare Strategien.
Bei stabilen Spielen kennt jeder seine optimale Strategie, um sein Risiko
zu minimieren. Also weicht keiner von dieser Strategie ab. Sonst
würde der Gegner einen Vorteil erlangen. Der Gewinn bzw. Verlust des
jeweiligen Spielers ist am Ende immer derselbe.
Diese Zahl wird auch Wert des Spiels oder fester Sattelpunkt
genannt.
Bei stabilen Spielen ist die Entscheidung des Spielers im Grunde unabhängig von der Entscheidung seines Mitspielers. Wäre dies immer der Fall, könnte man die Spieltheorie als langweilig und überflüssig bezeichnen. Die Mehrzahl der Spielsituationen haben keinen festen Wert oder Sattelpunkt. Sie werden als instabil bezeichnet. Hier hängt die beste Strategie für einen Spieler von seinem Gegner ab.
2.3 Lösungskonzept für Zweipersonen Nullsummenspiele
Ein Lösungskonzept sollte jeden Spieler anweisen, welche Strategie
er zu wählen hat. Um ein solches Konzept aufzustellen, werden die
Zweipersonen Nullsummenspiele als Matrixspiele dargestellt. Die m verschiedenen
Strategien Si des Spielers P1 werden den m Zeilen einer Matrix zugeordnet.
Analog ordnet man den n verschiedenen Strategien Tj des Spielers P2 die
n Spalten der gleichen Matrix zu. Wählt nun P1 die Strategie
Si (Zeile i) und P2 zugleich die Strategie Tj (Spalte j), so ist
mit dem resultierenden Element ai j der Gewinn von P1 beschrieben. Diesen
Gewinn kann man als Auszahlung der Höhe aij von P2 an P1 deuten. Deshalb
heißt die sich ergebende Matrix auch Auszahlmatrix.
Diese Matrix wird immer bei der Lösung von stabilen bzw. instabilen
Zweipersonen Nullsummenspielen erstellt. Hierzu eine Auszahlmatrix in allgemeiner
Form:
| T1 | . | Tj | . | Tn | |
| S1 | a11 | . | . | . | a1n |
| . | . | . | . | . | . |
| S2 | . | . | aij | . | . |
| . | . | . | . | . | . |
| S3 | am1 | . | . | . | amn |
Der Wert bzw. Sattelpunkt des Spiels kann erst durch die Betrachtung
der Auszahlmatrix ermittelt werden.
Die Vorgehensweise wird an der Beispielmatrix A gezeigt.
Spielmatrix A:
| T1 | T2 | T3 | MAX | |
| S1 | -1 | 2 | 3 | -1 |
| S2 | -2 | 1 | 1 | -2 |
| S3 | -2 | -3 | -1 | -3 |
| MIN | -1 | 2 | 3 |
P1 nimmt an, daß sein Gegner optimal spielt. Egal welche Strategie P1 wählt, P2 minimiert den Gewinn von P1 immer. P2 wählt in jeder Zeile die niedrigste Zahl und passt seine Strategie an.
Wählt P1:
Antwortet P2:
Gewinn für P1:
S1
T1
-1
S2
T1
-2
S3
T2
-3
P1 erhält hier drei ungünstige Fälle (Minima). Das Maximum
der Minima (Max-Min hier: -1) ist für P1 die beste Alternative. Also
wird P1 immer die Strategie S1 wählen.
Analog verhält sich Spieler P2. Er glaubt das P1 optimal spielt.
P1 wählt in jeder Spalte die höchste Zahl und passt seine
Strategie an.
Wählt P2:
Antwortet P1:
Gewinn für P2:
T1
S1
-1
T2
S1
2
T3
S1
3
P2 erhält hier drei Maxima. Das Minimum der Maxima (Min-Max hier: -1) ist für P2 die beste Möglichkeit. Also wählt P2 immer T1.
Insgesamt gesehen:
Allgemeiner formuliert:
Spielmatrix B:
| T1 | T2 | T3 | MAX | |
| S1 | -3 | 0 | 3 | -3 |
| S2 | 2 | 3 | -1 | -1 |
| S3 | 0 | 2 | -2 | -2 |
| MIN | 2 | 3 | 3 |
Die meisten Spiele besitzen keinen Sattelpunkt. Hierzu betrachte man die Spielmatrix B. Zunächst geht man nach dem gleichen Schema vor, wie es bei den stabilen Spielen geschehen ist. Doch es stellt sich heraus:
P1 wählt S1 - P2 antwortet mit T1 - P1 wählt daraufhin S2
- P2 kontert mit T3 - P1 antwortet mit S1
S1 - T1 - S2 - T3 - S1 ... (die Folge beginnt von vorne)
Ein Lösungskonzept gestaltet sich hier wesentlich komplexer, als
bei den stabilen Spielen. Die Lösung liegt in der sogenannten gemischten
Strategie.
Bei jedem Spielbeginn wählt man möglichst zufällig eine
seiner Strategien aus. Diese Wahl ist aber an vorher definierte Wahrscheinlichkeiten
gebunden, die aussagen, wie häufig eine Strategie vorkommen sollte.
Das Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeiten pi bzw. qj so zu bestimmen, daß
das maximale Risiko minimiert wird.
Zunächst berechnet man für jeden Spieler die sich aufgrund
der Wahrscheinlichkeiten ergebenden mittleren Gewinne für jede Strategie
des Gegners. Dann betrachtet man den minimalen Gewinn (aus Sicht des jeweiligen
Spielers) und wählt die Wahrscheinlichkeiten so, daß dieser
maximal wird (Max-Min, Min-Max).
Dabei ist Ej der mittlere Gewinn von P1, falls P2 die Strategie
Tj wählt, und P1 seine Strategien mit den Wahrscheinlichkeiten pi
wählt. Entsprechendes gilt für Fi von P2.
Spieler P1
Spieler P2
E1 = p1a11 + p2a21 + ... + pmam1 (T1)
F1 = q1a11 + q2a12 + ... + qma1n (S1)
:
:
E1 = p1a1j + p2a2j + ... + pmamj (Tj)
Fi = q1ai1 + q2ai2 + ... + qmain
(Si)
:
:
E1 = p1a1n + p2a2n + ... + pmamn (Tn)
Fm = q1am1 + q2am2 + ... +qmamn (Sm)
Max-Min-Strategie: Wähle pk so, daß das
Min-Max-Strategie: Wähle qk so,daß das
minimale Ej = u maximal wird
maximale Fi = w minimal wird.
Vorher sollte man die Matrix durch Addition einer Konstanten positiv
machen.
p1a11 + p2a21 + ...
+ pmam1 >= u-min
q1a11 + q2a12 + ... + qma1n
<= w- max
:
:
p1a1n + p2a2n + ...
+ pmamn >= u
q1am1 + q2am2 + ... + qmamn
<= w
p1 + p2
+ ... + pm =
1
q1 + q2
+ ... + qm = 1
Zusätzlich soll sein : umax = wmin
Die Ungleichungssysteme werden nun mit 1/u und 1/w normiert.
Zur Lösung dieser Ungleichungssysteme sei auf die Fachliteratur
zur Linearoptimierung verwiesen.
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Eine weit verbreitete und bekannte Spielsituation ist das Gefangenendilemma.
Es handelt sich hier um ein Zweipersonen Nichtnullsummenspiel. Die
Situation wird im folgenden beschrieben.
Zwei Männer, die unter Verdacht stehen, zusammen ein Verbrechen
begannen zu haben, werden von der Polizei verhaftet und in verschiedene
Zellen eingesperrt. Beide können entweder ein Geständnis ablegen
oder schweigen. Die möglichen Konsequenzen ihrer Handlung sind:
1. Wenn der eine gesteht und sein Partner nicht, so wird der, der gestanden
hat als Zeuge der
Anklage freigelassen und der andere kommt für
20 Jahre ins Gefängnis.
2. Wenn beide gestehen, müssen beide auf 5 Jahre ins Gefängnis.
3. Wenn beide schweigen, müssen beide wegen unerlaubten Waffenbesitzes
- eines weniger
schwerwiegenden Anklagepunktes - auf 1 Jahr ins
Gefängnis.
Es bildet sich folgende Spielmatrix C:
| gestehen | nicht gestehen | |
| gestehen | 5 Jahre, 5 Jahre | Freilassung, 20 Jahre |
| nicht gestehen | 20 Jahre, Freilassung | 1 Jahr, 1 Jahr |
Sehen wir uns das Gefangendilemma aus der Perspektive eines der beden
Angeklagten an.
Er muß seine Entscheidung treffen, ohne zu wissen, wie sein Partner
handeln wird.
Angenommen, der Partner gesteht: unser Mann kann nun entweder schweigen
und auf 20 Jahre ins Gefängnis gehen, oder gestehen und 5 Jahre im
Gefängnis verbringen. Wenn der Partner schweigt, kann er ebenfalls
schweigen und ein Jahr absitzen, oder gestehen und somit die Freiheit erlangen.
Es ist anscheinend in jedem Fall das beste, wenn er gesteht !
Wo liegt dann das Problem ?
Das Paradoxe ist, daß zwei naive Gefangene schweigen, und nur ein Jahr sitzen. Zwei gescheite, spieltheoretisch bedachte, Gefangene gestehen und 5 Jahre sitzen. In der Zeit können sie dann viel über die Spieltheorie nachdenken.
Noch eine weitere Überlegung:
Jeder Spieler hat grundsätzlich zwei Möglichkeiten: er kann kooperativ oder nicht-kooperativ handeln. Wenn alle Spieler kooperativ handeln, ist dies für jeden einzelnen günstiger, als wenn alle nicht-kooperativ handeln. Gleichgültig aber, welche Strategie die anderen Spieler verfolgen, ist es für einen Spieler immer besser, nicht-kooperativ zu spielen.
Wenn das Spiel nur einmal gespielt wird, bleibt den Gefangenen fast
keine andere Wahl, als zu gestehen.
Was passiert aber wenn das Spiel öfters gespielt wird ?
Nehmen wir an unsere Gefangenen leben ewig, und das Spiel wird 20 mal
gespielt.
Wenn einer der Angeklagten im ersten Spiel gesteht, so gibt er
seinem Partner den Anlaß, im zweiten Spiel auch zu gestehen. So werden
die Gefangenen wahrscheinlich in allen weiteren Spielen gestehen.
Günstiger wäre es zu zeigen, daß man, zur Kooperation gewillt
ist und nicht zu gestehen, in der Hoffnung, daß der Partner den richtigen
Schluss daraus zieht.
Diese Strategie könnte zu einem kooperativen Ergebnis führen.
Allerdings gibt es da ein Problem.
Im zwanzigsten Spiel könnte der Gefangene wieder gestehen, weil
dies die letzte Partie ist.
Aber das ist noch nicht alles. Wenn es sinnlos ist, im zwanzigsten
Jahr zu kooperieren, dann hat es auch keinen Zweck im neunzehnten Jahr
zu kooperieren usw.
Somit sollte man doch nicht kooperieren.
Erst wenn das „Gefangenendilemma“ im unbegrenzten Zeitraum gespielt
wird, kommt die Kooperation voll zur Geltung.
Als Beispiel seien hier zwei Firmen erwähnt, die kooperieren.
Die Konkurrenzunternehmen wissen wohl, daß sie nicht ewig im Geschäft
bleiben werden. Aber sie können im allgemeinen nicht absehen, wann
Fusionierung oder Bankrott ihren Konkurrenzkampf beendet. Denn niemand
weiß, wann die letzte Runde stattfinden wird !
Bei den meisten Spielen ist man zufrieden, wenn man sagen kann, was
ein vernünftiger Spieler tun sollte. Das Gefangenendilemma unterscheidet
sich hier erheblich von anderen Spielen.
Man sollte sich hier nicht die Frage stellen:
„welche Strategie sollte eine vernünftige Person wählen“
sondern
„wie können wir die Anwendung einer kooperativen Strategie rechtfertigen
?“