Mehrkanalige Bilder und Hauptachsentransformation
von Christian Schleippmann
Inhaltsverzeichnis
I. Was sind mehrkanalige Bilder ?
II. Mehrkanalige Bilder und Hauptachsentransformation
1. Physiologische Aspekte der Farbwahrnehmung
2. Technische Farbdarstellung
2.1 Normfarbtafel
2.2 Farbmodelle
2.3 Operatoren
2.4 Anwendungen unter Bildverarbeitungsprogramm "Halcon"
I. Was sind mehrkanalige Bilder ?
Das Bild ist eines der wichtigsten Informationsträger, welches der Mensch mit seinen Sinnen aufnehmen und verarbeiten kann. Daneben wird mit der zunehmenden Digitalisierung unserer Umwelt im technischen aber auch im alltäglichen Leben die Umsetzung dieser Informationen in verarbeitbare Daten notwendig.
Ein einzelnes Bild kann dabei gleichzeitig mehrere Informationen beinhalten. Es kann damit Verknüpfungen zwischen verschiedenartigen Inhalten darstellen und dabei tatsächlich voneinander unabhängige Informationen, ebenso aber auch voneinander abhängige Informationen darstellen. Der Informationswert eines Bildes kann somit unterschiedlich hoch sein. Ein Ziel in der digitalen Bildverarbeitung ist es bei möglichst geringer Datenmenge einen hohen Informationswert zu erreichen.
Um in einem Bild Informationen darzustellen ist neben den Kontrasten und verschiedenen Helligkeitsstufen die Farbe ein wesentlicher Informationsträger.
Um ein Farbbild zu digitalisieren benötigt man in der technischen Realisierung mehrere "Bilder", die "übereinandergelegt" das Farbbild erzeugen. Ein einzelnes Bild kann dabei die Informationen eines Graubildes tragen, also insbesondere Helldunkel Abstufungen. Ein solches "Bild" wird in einem Kanal dargestellt.
Mehrere Kanäle für ein einziges Bild ermöglichen also die Darstellung eines Farbbildes. Daneben werden mehrkanalige Bilder auch dazu verwendet, um außer der Farbinformation beliebige Daten darzustellen, die in ein und demselben Bild umgesetzt werden sollen. Dabei bleibt für den Menschen weiterhin die Farbe als das Medium, welches ihn diese Informationen differenzieren läßt. Es ist also notwendig, daß in einem technisch realisierten Bild die Informationen nicht immer intuitiv zu interpretieren sind, sondern noch weitere Kenntnisse vorausgesetzt werden, um das Bild letztlich verstehen zu können. Beispielsweise kann bei der Betrachtung einer computertomographisch dargestellten Aufnahme nur der geschulte Beobachter die Farbinformationen deuten. Aber auch in einer alltäglichen Wetterkarte stellen die Informationen nicht die realen Umweltbedingungen dar, sondern sind ein abstrakter Träger für eine darzustellende Information.
II. Mehrkanalige Bilder und Hauptachsentransformation
Das menschliche Auge kann Informationen durch verschiedene Helligkeitsstufen, Farben und deren Sättigungsgrad aufnehmen. Dabei gibt es zwei grundsätzlich verschiedene Arten, wie die im Auge angelangten Lichtreize umgesetzt werden.
Es werden dabei das skotopische Sehen und das photopische Sehen unterschieden. Erstgenanntes findet in einer schlecht beleuchteten Umgebung statt, so daß nur noch verhältnismäßig schwache

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Abb. 1.1 Schematischer Querschnitt des menschlichen Auges |
Lichtreize auf die Netzhaut einwirken. Die Umsetzung der Lichtreize in elektrische Ströme, welche über den Sehnerv gebündelt zum Gehirn gelangen, führen die Stäbchenzellen aus. Diese sind wesentlich dichter auf der Netzhaut verteilt als die für das photopische Sehen verantwortlichen
Zapfenzellen und ermöglichen somit im wesentlichen die Auflösung eines Bildes. Die Zapfenzellen hingegen reagieren bei guter Beleuchtung und ermöglichen dabei das Farbsehen. Es wird aufgrund von Empfindlichkeitsmessungen davon ausgegangen, daß das menschliche Auge über drei in unterschiedlichen Lichtwellenlängenbereichen empfindlichen Zapfenzellen verfügt. Dies hat dazu beigetragen, daß die 1931 tagende Commission Internationale de l’Éclairge (CIE) drei "Grundfarben" gewählt hat, die bis heute zur technischen Darstellung von Bildern verwandt wird. Die maximale Empfindlichkeit dieser drei Zellarten entspricht den Farben Blau, Grün und Rot.

Abb. 1.2
In Abb. 1.2 ist der verhältnismäßig kleine Bereich dargestellt, in dem das menschliche Auge empfindlich ist. Die relative Empfindlichkeit der drei Zapfenzellen zeigt ein deutliches Maximum bei ca. 450nm (blau), 550nm (grün) und 600nm (rot). Es wird anhand dieser Abbildung deutlich, daß ein großer Bereich der elektromagnetischen Wellen außerhalb des sichtbaren Lichtes liegen.
1. Die Normfarbtafel
Wie im letzten Abschnitt erwähnt wurde in den 30er Jahren eine Möglichkeit gesucht, Farben mathematisch zu beschreiben und damit eine Voraussetzung für die heutigen Anwendungen in der Darstellung von Farbbildern geschaffen.
Abb. 2.1
Das sichtbare Spektrum wurde in einem dreidimensionalen Raum dargestellt. In Abb. 2.1 sind die x- und y-Komponente dargestellt.
In dem Diagramm repräsentiert jeder Punkt eine Farbe. Dabei können alle Farben, die auf der Strecke zwischen zwei Farbpunkten liegen, durch Mischen der Farben der Endpunkte hergestellt werden. Analog können innerhalb eines Dreiecks alle farben durch Mischen der Eckpunkte erzeugt werden. Entlang der zungenförmigen Randlinie erstrecken sich die Farben des monochromatischen Lichtes, und im unteren Bereich , nahe der x-Achse, die Purpurfarben, die nicht monochromatisch dargestellt werden können. Werte auf der Kurve entsprechen voller Sättigung, zum Zentrum D65 hin nimmt die Sättigung dann ab.
Das eingezeichnete Dreieck beschreibt den in der Fernsehtechnik verwendeten Farbbereich. Der D65 Punkt entspricht dem in Europa verwendeten Normweiß, welches einem auf 6500 K erhitzten schwarzen Körpers entspricht.
Die dritte Komponente z, welche senkrecht zum eingezeichneten Koordinatensystem steht, entspricht dem Normfarbwert Y. Dieser stellt ein Maß für die Helligkeit der Farbe dar. Alle drei Komponenten sind auf den Betrag 1 normiert.
2. Farbmodelle
Das RGB Modell wird als additives Farbmodell bezeichnet, da die Farben durch die Überlagerung der Grundfarben Rot, Grün und Blau dargestellt werden. Abhängig vom Sättigungsgrad jeder einzelnen Grundfarbe, der in einem Kanal pro Bildpixel 256 verschiedene Werte annehmen kann, ergeben sich insgesamt 2563=16 777 216 darstellbare Farben.

Abb.2.2.1: Die Vektoren der Farben Rot (Zyan), Grün (Magenta) und Blau (Gelb) erzeugen einen kartesischen Farbraum
Mit den Komplementärfarben Zyan ( zu Rot), Magenta (zu Grün) und Gelb (zu Blau) wird das CMY Modell (engl. Cyan-Magenta-Yellow) beschrieben. In Abb. 2.2.1 sind die Vektoren des Farbwürfels auf 1 normiert. Daher läßt sich eine bestimmte Farbe, die im RGB Modell dargestellt ist, folgendermaßen in das CMY Modell umrechnen:

Das vor allem im Druckereiwesen eingesetzte Modell heiß subtraktiv, da seine Farben aus dem weißen Licht jeweils die Grundfarbe im entsprechenden Anteil absorbiert und dabei nur der komplementäre Anteil reflektiert wird. Ist ein Körper beispielsweise mit der Farbe Cyan zu 100% gesättigt, absorbiert er diese Farbe und der Körper erscheint dem Beobachter rot.
In der Fernsehtechnik findet sich das YIQ Modell, welches Farbe mit den Komponenten Intensität, Färbung und Sättigung beschreibt. Der Intensitätswert Y beschreibt dabei das Hell-Dunkel Verhalten des Bildes und kann damit auch in einem Schwarz-Weiß Fernseher ein Bild erzeugen.
In Europa herrscht das PAL System vor, dessen Komponenten abweichend vom amerikanischen NTSC Standart mit Y, R-Y und B-Y dargestellt werden.
Das in der Farbphotographie und Videotechnik verwendete HSI Modell ist der modernere Standart gegenüber dem RGB Modell. HSI steht dabei für Hue (Färbung), Saturation (Sättigung) und Intensity (Intensität).In diesem Modell werden die Komponenten in einem Zylinderkoordinatensystem beschrieben.
Abb .2.2.1
Dabei entspricht der Betrag der Komponente in Richtung des Zylinderradius der Sättigung, der Winkel
j der Färbung und die vertikale Achse der Intensität. In der digitalen Bildverarbeitung bietet dieses Modell oftmals die Möglichkeit mit weniger Daten als im RGB System zu arbeiten. Beispielsweise reicht im HSI Modell bei einer Bildsegmentierung, die mittels einer Farbe erzeugt wird, die Verarbeitung der Daten in dem Kanal Färbung aus, während im RGB Modell alle drei Kanäle verarbeitet werden müssen, da die Farbinformation auf alle drei Kanäle verteilt ist. Die Umrechnung vom RGB Modell zum HSI Modell erfolgt in zwei Schritten: Zuerst wird das RGB Koordinatensystem so gedreht, daß eine Achse mit der Raumdiagonalen des Farbwürfels (Abb.2.2.1) zusammenfällt. Diese Achse bezeichnen wir mit I1, die beiden dazu orthogonalen mit M1 und M2. Diese Drehung wird folgendermaßen beschrieben:

Im zweiten Schritt werden die kartesischen Koordinaten (|M1|,|M2|,|I1|) in Zylinderkoordinaten umgerechnet:
2.3 Operationen auf mehrkanalige Bilder
Mit der additiven Verknüfung von Kanälen kann aus einem n-Kanalbild ein panchromatisches Graubild erzeugt werden, das entseht, wenn das original ohne farbfilter als Grautonbild digitalisiert würde. Daneben dient diese operation dazu, Zusatzinformationen in ein Bild einzublenden, beispielsweise der Grenzverlauf von Ländern auf einer Satelittenaufnahme. Mathematisch wird diese Operation folgendermaßen beschrieben:
![]()
Dabei ist S das panchromatische Graubild, n die Anzahl der Kanäle und P jeweils die den einzelnen Kanälen zugeordnete Bildmatrix.
Zur Lösung von Kalibrierungsproblemen kann die Differenz zweier Kanäle verwendet werden:
![]()
Die Konstante c dient hierbei dazu, daß der Wert von S’ nur aus positiven Werten besteht. In S’ sind die Bereiche, in welche spektrale Unterschiede auftreten, hervorgehoben.
Einen Ähnlichen Effekt leistet die Ratio, die folgendermaßen dargestellt wird:
![]()
Das Ratio ist invariant gegen die Multiplikation der Kanäle des Originalbildes S mit einem konstanten Faktor.
Als wichtigste Anwendung der Operationen auf Mehrkanalbilder ist eine Datenreduktion. Oft beinhalten mehrere Kanäle die gleiche Information, man sagt sie korrelieren. Ziel ist es, die redundante Information zu selektieren und auszublenden, so daß weniger Daten vorhanden sind, die nahezu den gleichen Informationswert beinhalten.
Eine in diesem Zusammenhang wichtige Operation stellt die Hauptachsentransformation dar. Sie ist ein effizientes Mittel zur Datenreduktion und führt mehrere korrelierte Kanäle auf einen zurück. Im folgenden soll die Hauptachsentransformation anhand eines Zweikanalbild demonstriert werden.

Abb. 2.3.1
In Abb. 2.3.1 ist ein Grauwerthistogramm eines Zweikanalbildes dargestellt. Man erkennt deutlich, daß im vorliegenden Beispiel eine lineare Abhängigkeit beider Kanäle besteht und somit eine hohe Korrelation vorhanden ist. Man sucht nun die beiden Hauptachsen, die in Richtung längs der größten Streuung der Grauwerte bzw. senkrecht dazu verlaufen. Im rechten Bild ist das Koordinatensystem um den Winkel a mittels der Transformationsmatrix
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gedreht worden. Nach der Drehung ist die Streuung auf der Abszissenachse, die die Grauwerte eines Kanals repräsentiert, sehr gering. Also ist der Informationswert dieses Kanals gering und kann vernachlässigt werden.
Bei höherdimensionalen Problemen führt die Hauptachsentransformation auf ein Eigenwertproblem. Es ist jedoch zu beachten, daß bei dieser Transformation charakteristische Objekteigenschaften verlorengehen können. Sie wird daher meist auf Bildausschnitte angewandt.
2.4 Anwendungen in HALCON
Das Bildverarbeitungsprogramm HALCON kann die einzelnen Kanäle eines Mehrkanalbildes selektieren (decompose). Ebenso können einzelne Kanäle zu einem Mehrkanalbild zusammengesetzt werden (compose). Dabei sind die erwähnten Farbmodelle anwendbar und somit auch jeweils in ein anderes Farbmodell transformierbar.
Die Hauptachsentransformation kann mit dem Operator "principal_comp" durchgeführt werden.
Digitale Bildverarbeitung, Peter Haberäcker, ISBN 3-446-16339-5
Einführung in die digitale Bildverarbeitung, Wolfgang Abmayr, ISBN 3-519-06138-4
Digitale Bildverarbeitung, Bernd Jähne, ISBN 3-540-56926-X
Praxis der Digitalen Bildverarbeitung und Mustererkennung, Peter Haberäcker,
ISBN 3-446-15517-1
The Image Processing Handbook, John C. Russ, ISBN 0-8493-4233-3
Fundamentals of Digital Image Processing, Anil K.Jain, ISBN 0-13-332578-4